Análisis numérico del comportamiento de la mosca blanca de los cítricos Aleurothrixus floccosus con y sin el parasito Cales noacki para buscar el equilibrio biológico.
Abstract. Este trabajo analiza el comportamiento** de** la mosca blanca Aleurothrixus floccosus mediante métodos numéricos y software, utilizando un modelo de ecuaciones diferenciales para describir la interacción entre las moscas blancas de los cítricos y uno de sus parásitos Cales noacki que se desarrolla en el interior de sus larvas se alimenta de ellas y por lo cual las destruye. Específicamente se emplea el método de Runge-Kutta de orden 4 (RK4) para resolver el sistema de ecuaciones, se evalúan dos estrategias que buscan el equilibrio biológico, introduciendo solo al parasito Cales noacki y combinado con insecticidas en distintas cantidades. Los resultados muestran que el control biológico reduce la población de moscas a 381.52 por m² en 7 días, mientras que la fumigación aumenta las moscas a 612.02 por m² al debilitar al parásito. El análisis del plano de fases revela un equilibrio estable con control biológico, sugiriendo su preferencia para un manejo sostenible de la plaga.
Keywords: Control Biológico, Plaga de Mosca Blanca aleurothrixus floccosus, Método de Runge-Kutta 4, Parasito Cales noacki.
- Introducción
Las plagas agrícolas constituyen un desafío crítico para la seguridad alimentaria y la conservación ambiental a nivel global, impactando negativamente los rendimientos económicos y la biodiversidad de los ecosistemas. Entre estas, la mosca blanca (Aleurothrixus floccosus) ha emergido como una amenaza significativa, particularmente tras su introducción en regiones como España en la década de 1970, donde la falta de depredadores naturales facilitó su expansión descontrolada. Este fenómeno ha generado pérdidas considerables en cultivos clave, al tiempo que plantea interrogantes sobre la viabilidad de las estrategias de manejo tradicionales y su sostenibilidad a largo plazo. Los insecticidas químicos, aunque efectivos a corto plazo, han demostrado efectos adversos, incluyendo la eliminación de especies benéficas y el desarrollo de resistencia en las plagas, lo que subraya la urgencia de explorar alternativas ecológicas. En este contexto, el control biológico, basado en la introducción de depredadores naturales como Cales noacki, se presenta como una solución prometedora para restaurar el equilibrio ecológico y mitigar el impacto de la mosca blanca. En este contexto, el uso de depredadores naturales, como el parásito Cales noacki, emerge como una estrategia prometedora para regular las poblaciones de mosca blanca [3].
- Método Numérico Utilizado
Este trabajo emplea un modelo matemático basado en un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales para analizar la dinámica de interacción entre las moscas y el parásito:
n't=-c1nt-αnt+c2ntmt-c3nt2 (1)
m't=c4mt-αmt+c5ntmt-c6mt2 (2)
Aquí, m(t) y n(t) representan las densidades poblacionales de moscas y Cales, respectivamente, mientras que α mide la aplicación de insecticida. Los términos de las ecuaciones capturan el crecimiento natural, la depredación, el efecto del insecticida y las limitaciones por densidad. Para resolver este sistema, se aplica el método numérico de Runge-Kutta de orden 4 (RK4), conocido por su precisión en problemas dinámicos no lineales [1]. El objetivo principal es comparar dos estrategias de control: el uso exclusivo del parásito (α=0) frente a una combinación de control biológico y fumigación (α=0.5), evaluando su eficacia a través de simulaciones temporales y análisis en el plano de fases. Este estudio busca identificar el enfoque más sostenible para mitigar la plaga, contribuyendo al desarrollo de prácticas agrícolas más equilibradas y efectivas.
h=b-aN (3)
k1=f(tn ,yn) (4)
k2=ftn+h2 ,yn+h2k1 (5)
k3=ftn+h2 ,yn+h2k2 (6)
k4=f(tn+h ,yn+h.k3) (7)
yn+1=yn+h6k1+2k2+2k3+k4 (8)
RK4 fue seleccionado por su precisión y estabilidad para sistemas no lineales [2], permitiendo analizar la dinámica poblacional en un intervalo de 7 días con pasos (h) de 0.1.
- Análisis del Control de la Plaga
- Control sin Parásito
- Condición Inicial
- Control sin Parásito
c1= 0.435
c2= 0.002
c3= 0.02
c4= 6.098
c5= 0.3
c6= 0.002
N= 70
t = [0 7]
m't= 300 (densidad inicial de las moscas blancas Aleurothrixus floccosus)
n't= 0 (sin presencia inicial de la plaga Cales noacki)
α = 0 (sin fumigación)
α = 0.5 (con fumigación)
- Fórmula
Para hallar la población de la mosca blanca al cabo de 7 días sin tratamiento biológico, se tiene n'0= 0 y n0= 0, reemplazando los valores a la ecuación (2) dando como resultado la siguiente ecuación:
m't=c4-α m-c6m2 (9)
No se utiliza la ecuación (1) ya que, en este caso de estudio, no se toma en cuenta al parasito Cales.
- Justificación de la fórmula
El término c4-α m representa el crecimiento neto de las moscas, ajustado por el insecticida; Mientras que -c6m2 modela la limitación por densidad.
- Resultados
Sin tratamiento ni uso de insecticida, al cabo de 7 días, la población de moscas alcanza su capacidad máxima de 3049 moscas/m2.
Pero cuando se aplica insecticida con una cantidad de α=0.5 mg/m2 durante 7 días a la densidad inicial de las moscas blancas, se reduce la tasa de crecimiento de la misma a 2500 moscas/m2. [Ver Fig.1].
*Fig. 1. Evolución de la mosca blanca sin fumigación (α = 0) y con fumigación (α = 0.5) durante 7 días.
En la siguiente Tabla 1 se muestra la evolución de las moscas blancas mt desde t= 0 a t= 7 días, con m0= 300, sin aplicar las plagas al estudio.
*Tabla 1. Comportamiento del incremento de las Moscas con y sin insecticida
Dia t | mt (α=0,sinfumigacion) | mt (α=0.5,confumigacion) |
0 | 300 | 300 |
1 | 600 | 500 |
2 | 1200 | 900 |
3 | 1800 | 1300 |
4 | 2300 | 1700 |
5 | 2700 | 2000 |
6 | 1900 | 2300 |
7 | 3040 | 2500 |
- Control con Parásito
- Condición Inicial
c1= 0.435
c2= 0.002
c3= 0.02
c4= 6.098
c5= 0.3
c6= 0.002
N= 70
t = [0 7]
m't= 300 (densidad inicial de las moscas blancas Aleurothrixus floccosus)
n't= 30 (Cantidad del parásito Cales noacki)
α = 0 (sin fumigación)
α = 0.5 (con fumigación)
- Fórmula
Para hallar la población de la mosca blanca al cabo de 7 días con el tratamiento biológico, se usa las ecuaciones (1) y (2).
n't=-c1nt-αnt+c2ntmt-c3nt2 (1)
m't=c4mt-αmt+c5ntmt-c6mt2 (2)
- Justificación de la fórmula
La ecuación (1) modela la tasa de cambio de los Cales. El término -c1nt refleja la mortalidad natural de la plaga, -αnt es el efecto del insecticida (α en mg/m²), c2ntmt siendo el crecimiento por depredación de las moscas blancas y -c3nt2 es la competencia intraespecífica, alineándose con modelos presa-depredador.
- Resultados
- Con tratamiento biológico y sin fumigación (α = 0):
La población de moscas comienza en 300 por m², alcanza un pico de aproximadamente 700 por m² alrededor del día 2, y luego disminuye a 381.52, aproximadamente 382 moscas blancas por m² en el día 7. El pico ocurre porque, al principio, hay pocas moscas para que los parásitos Cales las controlen efectivamente, permitiendo un breve crecimiento poblacional. [Ver Fig.2].
Los parásitos Cales inician en 30 por m², disminuyen inicialmente a 20 por m² en el día 2 debido a la falta de presas suficientes, y se estabilizan en 17.80, aproximadamente 18 parásitos Cales noacki por m² en el día 7, reflejando un equilibrio donde se alimentan de las moscas restantes. [Ver Fig.2].
- Con tratamiento biológico y con fumigación (α = 0.5):
La población de moscas también alcanza un pico de 700 por m² alrededor del día 3, pero se estabiliza en 612.02, aproximadamente 612 por m² en el día 7, debido a la reducción del parásito Cales noacki por culpa del insecticida [Ver Fig.2].
Los Cales disminuyen más rápido, de 30 a 22 por m² en el día 1, y se estabilizan en 14.49 por m² el día 7, mostrando el impacto negativo del insecticida en la supervivencia del parasito y a largo plazo a la eliminación del mosco blanco de los cítricos [Ver Fig.2].
Fig. 2**.** Crecimiento de la mosca blanca y el parasito Cales, sin fumigación (α = 0) y con fumigación (α = 0.5) alrededor de 7 días.
En la siguiente Tabla 2 se muestra la evolución de las moscas blancas mt y el parásito Cales noacki nt desde t= 0 a t= 7 días, con m0= 300 y n0= 30 y sin fumigación α = 0.
Tabla 2. Evolución de las Moscas y Cales, sin insecticida.
Dia t | mt (Moscas/m²,sinfumigacion) | nt (Cales/m²,sinfumigacion) |
|
0 | 300 | 30 |
|
1 | 500 | 25 |
|
2 | 700 | 20 |
|
3 | 600 | 18 |
|
4 | 450 | 17 |
|
5 | 400 | 17 |
|
6 | 380 | 17 |
|
7 | 381.52 | 17.80 |
|
En la siguiente Tabla 3 se muestra la evolución de las moscas blancas mt= 300 y el parásito Cales noacki n0= 30 desde t= 0 a t= 7 días y con fumigación α = 0,5.
Tabla 3. Evolución de las Moscas y Cales, con insecticida.
Dia t | mt (Moscas/m²,confumigacion) | nt (Cales/m²,confumigacion) |
|
0 | 300 | 30 |
|
1 | 450 | 22 |
|
2 | 600 | 18 |
|
3 | 700 | 16 |
|
4 | 650 | 15 |
|
5 | 620 | 14 |
|
6 | 610 | 14 |
|
7 | 612.02 | 14.49 |
|
- Decisión del Tratamiento Óptimo
El tratamiento óptimo debe definirse según el objetivo principal
- Minimizar la población de moscas para proteger los cultivos.
- Mantener un equilibrio ecológico sostenible que preserve al parásito Cales noacki.
- Reducir el uso de insecticidas para evitar daños colaterales al ecosistema.
- Comparación y Decisión
Tenemos dos tratamientos viables los cuales son:
- Introduciendo al parasito Cales noacki, sin fumigación.
- Introduciendo al parasito Cales noacki combinando con la fumigación.
El control biológico (Moscas + Parásitos) es óptimo, reduciendo moscas a 381.52 con parásitos estables de aproximadamente 18.
En las Tablas 4 y 5 se realiza una suma total por m2 de la cantidad de moscas resultantes después cada tratamiento en el día 7.
Tabla 4. Cantidad de Moscas**/**m2 resultantes en el día 7, Sin agregar Parásitos Cales.
Dia | Moscas sin fumigación | Moscas con fumigación |
7 | 3049 | 2500 |
Tabla 5. Cantidad de Moscas**/**m2 resultantes en el día 7, Agregando Parásitos Cales.
Dia | Moscas + parásitos | Moscas + parásitos + fumigación |
7 | 381.52 | 612.02 |
Con fumigación (α = 0.5), las moscas aumentan su volumen a 612 moscas//m2 al debilitar los parásitos de 18 a 14 parásitos/m2. En el plano de fases se muestra a las trayectorias convergiendo a equilibrios, confirmando α = 0 como sostenible. [Ver Fig.3].
Fig. 3**.** Plano de fases (n, m).
Estos resultados confirman que el control biológico donde a las moscas blancas de los cítricos, se les agrega parásitos Cales noacki y no se usa ninguna clase de fumigación, lleva a un equilibrio más favorable, con menos moscas y más parásitos, efectivo para combatir la plaga y asegurando que, a largo plazo, no exista un rebrote de moscas.
Pero si se desea una solución inmediata, se usaría el control biológico donde agregamos a las moscas blancas de los cítricos, los parásitos Cales noacki y también productos químicos para la fumigación, Con esto eliminaremos una gran cantidad de plaga, pero a corto plazo existirá un rebrote de moscas.
Concluciones
En el primer caso de estudio del control sin paracito se aplica insecticida con una cantidad de α=0.5 mg/m2 durante 7 días a la densidad inicial de 3049 moscas/m2 de moscas blancas, se reduce la tasa de crecimiento de la misma a 2500 moscas/m2.
Se puede deducir con los datos del metodo numerico que la fumigacion es contra producente contra la mosca como el paracito llevando una produccion de la mosca blanca de 612.02 moscas/m2
Analizando los datos del metodo numerico se puede definer que el mejor tratamiento para el control de la mosca blanaca es introducer el paracito Cales noacki sin fumigacion que lleva a una reduccion de 381.52 moscas/m2.
References
- Butcher, J. C.: Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. 2nd edn. John Wiley & Sons, Chichester (2008).
- Steven C. Chapre.:Metodos Numericos para Ingenieros. 6nd edn. Jose J.Flores Godoy, MC Graw Hill Educacion (2011).
- C. KLEIN KOCH, Bol. Serv. Plagas, 3:87-100, 1977. https://www.mapa.gob.es/ministerio/pags/biblioteca/revistas/pdf_plagas%2FBSVP-03-01-087-100.pdf
%20para%20cada%20arm%C3%B3nico.png "Tabla detallada que explica la frecuencia de sintonía (fr) para cada armónico")
